За какое время каждый из поездов проходит расстояние от Москвы до Воронежа?
Тема задачи: Нет подходящей темы
Создано:
@misswei5
19 мая 2016
14:57
Пассажир на дорогу из Москвы до Воронежа и обратно разными поездами затрачивает 20 часов. Указанные поезда, выехав одновременно из Москвы и Воронежа навстречу друг другу, встречаются через 4 часа 48 минут, За какое время каждый из поездов проходит расстояние от Москвы до Воронежа? Решения задачив одну сторону 8 часов в обратную сторону 12 часов. Ход Решения: Мы знаем общее время движения пассажира в пути, т.е. он доехал из Москвы в Воронеж, пересел на обратный поезд и доехал из Воронежа до Москвы и на все про все ушло 20 часов. формула 1
$ T_{МВ} + T_{ВМ} = 20 [часов] $ Подумаем о скорости с которой двигаются поезда. Поскольку, если бы поезда выехав одновременно на встречу друг другу имели одинаковую скорость то время движения в одну сторону было бы равно 20:2 = 10 часов и поезда встретились бы ровно посередине пути,и через 10:2 = 5 часов, Однако по условию они встретились через 4 часа 48 минут, а это означает что поезда двигались с разной скоростью, т.е. один двигался быстрее, а другой соответственно медленнее. Сделаем простое предположение - Пусть поезд из Москвы в Воронеж едет медленнее, чем из Воронежа в Москву. формула 2
$ U_{МВ} < U_{ВМ} $ Итак нам для решения задачи потребуется составить некоторое уравнение 
рисунок 1 формула 4
$ U_{МВ} = \frac{S_1}{T_1} $ формула 5
$ U_{ВМ} = \frac{S_2}{T_2} $ формула 6
$ T_1 = T_2 = 4 часа 48 минут $ Полное расстояние между двумя городами обозначим S. Поезд Москва-Воронеж проедет полный путь из города в город со скоростью Uмв за время Tмв. Поезд Воронеж-Москва проедет полный путь из города в город со скоростью Uвм за время Tвм. формула 7
$ T_{МВ} = \frac{S}{U_{МВ}} $ формула 8
$ T_{ВМ} = \frac{S}{U_{ВМ}} $ Общее время 20 часов складывается из этих двух времен - см самую первую формулу. И вот, что получается формула 9
$ T = \frac{S}{U_{МВ}} + \frac{S}{U_{ВМ}} $ Упрощаем - получается формула 10
$ T = S · \frac{U_{ВМ} + U_{МВ}}{U_{МВ} · U_{ВМ}} $ Снова обратим взор на картинку и выразим общее расстояние через скорости поездов формула 11
$ S = S_1 + S_2 = U_{МВ} · T_1 + U_{ВМ} · T_2 = ( U_{МВ} + U_{ВМ} ) · T_1 $ формула 12
$ T = T_1 · ( U_{МВ} + U_{ВМ} ) · \frac{U_{ВМ} + U_{МВ}}{U_{МВ} · U_{ВМ}} $ формула 13
$ T = T_1 · \frac{U_{ВМ}^2 + 2 · U_{ВМ} · U_{МВ} + U_{МВ}^2}{U_{МВ} · U_{ВМ}} $ формула 14
$ T = T_1 · ( \frac{U_{МВ}}{U_{ВМ}} + 2 + \frac{U_{ВМ}}{U_{МВ}} ) $ Запишем время в минутах и подставим в формулу. T = 20 часов = 1200 минут T_1 = 4 час 48 минут = 288 минут формула 15
$ \frac{U_{МВ}}{U_{ВМ}} + \frac{U_{ВМ}}{U_{МВ}} + 2 = \frac{1200}{288} $ Упрощаем формула 16
$ \frac{U_{МВ}}{U_{ВМ}} + \frac{U_{ВМ}}{U_{МВ}} = \frac{1200 - 576}{288} = \frac{13}{6} $ Из этого уравнения можно найти соотношение скоростей. Примем Uмв = 1. Тогда формула 17
$ \frac{1}{U_{ВМ}} + U_{ВМ} = \frac{13}{6} $ Преобразуем в квадратное уравнение $ x^2 - \frac{13}{6}x + 1= 0 $ Решив которое получаем $ x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = \frac{1}{3} $ Поскольку мы ранее договорились что из Москвы в Воронеж поезд идет медленнее, то правильный корень $ x_1 $ т.е. $ U_{ВМ} = \frac{3}{2} U_{МВ} $ Итак первые выводы: Поезд из Москвы в Воронеж двигается медленнее в 1.5 раза. соответсвенно Поезд из Воронежа в Москву двигается быстрее в 1.5 раза. Отсюда идет вывод второй: Поезд из Москвы в Воронеж пройдет за время в 1.5 раза больше, чем Поезд из Воронежа в Москву. $ T_{МВ} + T_{ВМ} = 20 часов, x · \frac{3}{2} + x = 20 $ Решив это уравнение получим: $ x = 20 · \frac{2}{5} = 8, 8 · \frac{3}{2} = 12 $ Вот и ответ 8 часов и 12 часов. Комментарии
Дано:
$S=U_{1}T_{1}=U_{2}T_{2}, откуда U_{1}=U_{2}\frac{T_{2}}{T_{1}}$; $S=(U_{2}(\frac{T_{2}}{T_{1}}+1))T$; $T_{2}=(\frac{T_{2}}{T_{1}}+1)T$ $T_{1}T_{2}=(T_{2}+T_{1})T$, учитывая что $T=288 и T_{2}+T_{1}=1200, выразим T_{1}=1200-T_{2}$, тогда $1200T_{2}-T_{2}^2=1200×288$ или $T_{2}^2-1200T_{2}+343600=0$, откуда $T_{2}_{1}$=728 мин=12 ч 08 мин $T_{2}_{2}$=478 мин=7 ч 52 мин $T_{1}=1200-T_{2}$ $T_{1}_{1}$=1200-728=472 мин =7 ч 52 мин. $T_{1}_{2}$=1200-472=728 мин =12 ч 08 мин. Ответ: один из поездов проходит расстояние от Москвы до Воронежа за 7 ч 52 мин., а другой за 12 ч 08 мин. КомментарииЧтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь |
Записать новую задачу Все задачи Все темы Все математики |
Комментарии