Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия Задачи

2 Задач в теме
3 Решений в теме
0 Подписчиков

Задачи про геометрическую прогрессию

Активность в теме Геометрическая прогрессия

Самые активные математики в теме Геометрическая прогрессия

Лучшие решения в теме Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия
Создано: @rockotavr 14 декабря 2015 20:51
поставьте оценку:
2 голосов, средний бал: 5.0000
Лучшее Решение

запишу, что имеем

формула 1

$ a_1 + a_3 + a_9 = 78 $

формула 2

$ a_n = a_1 · q^{n−1} $

формула 3

$ a_3 = a_1 · q^2 $

формула 4

$ a_9 = a_1 · q^8 $

формула 5

$ a_1 + a_1 · q^2 + a_1 · q^8 = 78 $

вот получилось такое уравнение, пока думаю, что с ним делать дальше, придумал, продолжаем разговор:

формула 6

$ 1 + q^2 + q^8 = \frac{78}{a_1} $

Если считать, что q и a1 - целые натуральные числа, то получается один единственный ответ, который получается подбором - возьмем q=2, a1=1

формула 8

$ q^8 = 256 $

А это значительно больше чем 78, а если принять a1=2, то 256 > 39, тогда остается только принять q = 1. Тогда

формула 9

$ 3 = \frac{78}{a_1} $

Отсюда получим

формула 10

$ a_1 = \frac{78}{3} = 26, q=1 $

и все члены прогрессии равны

формула 11

$ a_1 = a_3 = a_9 = 26 $

А вот если считать, что a1 и q рациональные дробные числа, тогда уравнение задачи имеет бесконечное множество решений которые можно увидеть на графике функции

формула 13

$ y(x) = 1 + x^2 + x^8 $
рисунок 1

рисунок 1

возьмем q=1.5

формула 14

$ y(q=1.5) = 28.879 = \frac{78}{a_1} $

формула 15

$ a_1 = 2.701 $

Или возьмем q=2.5

формула 16

$ y(q=2.5) = 1533.129 = \frac{78}{a_1} $

формула 17

$ a_1 = 0.051 $

Итого - при целых натуральных a1 и q получаем q=1 a1=26, при рациональных дробных a1 и q получаем бесконечное множество решений

Геометрическая прогрессия
Создано: @helios 6 января 2016 14:08
поставьте оценку:
1 голосов, средний бал: 4.0000
Лучшее Решение

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии

Свойство геом. прогрессии

$ b_{n}^{2} = b_{n-1}b_{n+1} $

Предположим, что b - средний член, тогда:

уравнение 1

b^{2} =ac

Из условия возьмем 2 других уравнения.

уравнение 2

$ a+b+c=26 $

уравнение 3

$ a^{2}+b^{2}+c^{2}=364 $

Имеем систему уравнений. b^2=ac a+b+c=26 a^2+b^2+c^2=364 Решение системы громоздкое, поэтому не привожу ее решения ( если потребуется, могу привести) Решением этой системы будут 2 такие тройки: a=2 b=6 c=18 a=18 b=6 c=2 И произведением будет abc=2*6*18=216 Ответ: 216.

Геометрическая прогрессия
Создано: @wintermor 1 апреля 2016 14:36
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Три числа, сумма которых равна 78 = a+b+c=78; Их можно рассматривать как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии a=x; b=3x; c=9x; 13x = 78; x =6. Найдите наибольшее из этих чисел a=6; b=18; c=54 54.

Сложнейшие задачи в теме Геометрическая прогрессия

Тема задачи: Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия
10 декабря 2015 17:28
0 подписчиков
1334 просмотра
2
решения
Тема задачи: Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия
10 декабря 2015 17:25
0 подписчиков
396 просмотров
1
решение
Записать новую задачу Все задачи Все темы Все математики